7+ Hằng Đẳng Thức Đáng Nhớ

Hằng đẳng thức đáng nhớ là công thức nền tảng và cực kì quan trọng trong toán học. Giúp các em có cơ sở lý thuyết cũng nhưn bài tập Gia Sư Kĩ Năng hệ thồng. Với mong muốn các em thành công trên con đường học vấn cũng như thành thạo các kĩ Năng học tập,

1. Công Thức 7 Hằng Đẳng Thức Đáng Nhớ.

7 Hằng đẳng thức đáng nhớ
7 Hằng đẳng thức đáng nhớ

>> Bấm xem ngay Nhân đơn thức với đa thức tổng hợp kiến thức lý thuyết bài tập bài tập nâng cao.

Xem video 7 hằng đẳng thức đáng nhớ.

2. Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ bằng lời.

2.1 Bình phương của một tổng bằng bình phương số thứ nhất cộng với hai lần tích số thứ nhân nhân số thứ hai rồi cộng 2.2 với bình phương số thứ hai.

2.3 Bình phường của một hiệu bằng bình phương số thứ nhất trừ đi hai lần tích số thứ nhất nhân số thứ 2 rồi cộng với bình phương số thứ hai.

2.4 Lập phương của một tổng = lập phương số thứ nhất + 3 lần tích bình phương số thứ nhất nhân số thứ hai + 3 lần tích số thứ nhất nhân bình phương số thứ hai + lập phương số thứ hai.

2.5 Hiệu hai bình phương bằng hiệu hai số đó nhân tổng hai số đó.

2.6 Lập phương của một hiệu = lập phương số thứ nhất – 3 lần tích bình phương số thứ nhất nhân số thứ hai + 3 lần tích số thứ nhất nhân bình phương số thứ hai – lập phương số thứ hai.

2.7Tổng của hai lập phương bằng tổng hai số đó nhân với bình phương thiếu của hiệu.

2.8 Hiệu của hai lập phương bằng hiệu của hai số đó nhân với bình phương thiếu của tổng.

>> Bấm xem ngay điểm khác biệt giữa Gia Sư Kĩ Năng và cá trung tâm khác. Như quý phụ huynh đã biết Năng Sống, Kĩ Năng học tập là những yếu tố góp phần quan trọng vào thành công của các em. Gia sư Kĩ năng lấy kĩ năng và chuyên môn làm trung tâm.

2. Bài tập về 7 hằng đẳng thức đáng nhớ.

Bài 1

Rút gọn các biểu thức sau:

a) (x + 3)(x2 – 3x + 9) – (54 + x3)

b) (2x + y)(4x2 – 2xy + y2) – (2x – y)(4x2 + 2xy + y2)

Đáp án và hướng dẫn giải:

a) (x + 3)(x2 – 3x + 9) – (54 + x3) = (x + 3)(x2 – 3x + 32) – (54 + x3)

= x3 + 33 – (54 + x3)

= x3 + 27 – 54 – x3

= -27

b) (2x + y)(4x2 – 2xy + y2) – (2x – y)(4x2 + 2xy + y2)

= (2x + y)[(2x)2 – 2 . x . y + y2] – (2x – y)(2x)2 + 2 . x . y + y2]

= [(2x)3 + y3]- [(2x)3 – y3]

= (2x)3 + y3– (2x)3 + y3= 2y3

Trung tâm gia sư kĩ năng
Trung tâm gia sư kĩ năng

Bài 2

Chứng minh rằng:

a) a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b)

b) a3 – b3 = (a – b)3 + 3ab(a – b)

Áp dụng: Tính a3 + b3, biết a . b = 6 và a + b = -5

Đáp án và hướng dẫn giải:

a) a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b)

Thực hiện vế phải:

(a + b)3 – 3ab(a + b) = a3 + 3a2b+ 3ab2 + b3 – 3a2b – 3ab2

= a3 + b3

Vậy a3 + b= (a + b)3 – 3ab(a + b)

b) a3 – b3 = (a – b)3 + 3ab(a – b)

Thực hiện vế phải:

(a – b)3 + 3ab(a – b) = a3 – 3a2b+ 3ab2 – b3 + 3a2b – 3ab2

= a3 – b3

Vậy a3 – b3 = (a – b)3 + 3ab(a – b)

Áp dụng:

Với ab = 6, a + b = -5, ta được:

a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) = (-5)3 – 3 . 6 . (-5)

= -53 + 3.6.5 = -125 + 90 = -35.

>> Bấm xem ngay bảng giá giá sư chi tiết đến từng lớp học.

Bài 3

Điền các đơn thức thích hợp vào ô trống:

a) (3x + y)(☐-☐+☐) = 27x3 + y3

b) (2x -☐)(☐- 10x +☐) = 8x3 -125

Đáp án và hướng dẫn giải:

a) Ta có: 27x3 + y3 = (3x)3 + y3= (3x + y)[(3x)2 – 3x.y + y2] = (3x + y)(9x2 – 3xy + y2)

Nên: (3x + y) (9x2 – 3xy + y2) = 27x3 + y3

b) Ta có: 8x3 – 125 = (2x)3 – 53= (2x – 5)[(2x)2 + 2x . 5 + 52]

= (2x – 5)(4x2 + 10x + 25)

Nên:(2x – 5)(4x2 + 10x + 25)= 8x3 – 125

Bài 4

a) (2 + xy)2 b) (5 – 3x)2

c) (5 – x2)(5 + x2) d) (5x – 1)3

e) (2x – y)(4x2 + 2xy + y2) f) (x + 3)(x2 – 3x + 9)

Đáp án và hướng dẫn giải:

a) (2 + xy)2 = 22 + 2.2.xy + (xy)2 = 4 + 4xy + x2y2

b) (5 – 3x)2= 52 – 2.5.3x + (3x)2 = 25 – 30x + 9x2

c) (5 – x2)(5 + x2) = 52 – (x2)2 = 25 – x4

d) (5x – 1)3 = (5x)3 – 3.(5x)2. 1 + 3.5x.12 – 13 = 125x3 – 75x2 + 15x – 1

e) (2x – y)(4x2 + 2xy + y2) = (2x – y)[(2x)2 + 2x . y + y2] = (2x)3 – y3 = 8x3 – y3

f) (x + 3)(x2 – 3x + 9) = (x + 3)(x2 – 3x + 32) = x3 + 33 = x3 + 27.

Bài 5

Rút gọn các biểu thực sau:

a) (a + b)2 – (a – b)2;                    b) (a + b)3 – (a – b)3 – 2b3

c) (x + y + z)2 – 2(x + y + z)(x + y) + (x + y)2

Đáp án và hướng dẫn giải:

a) (a + b)2 – (a – b)2 = (a2 + 2ab + b2) – (a2 – 2ab + b2)

= a2 + 2ab + b2 – a2 + 2ab – b= 4ab

Hoặc (a + b)2 – (a – b)2 = [(a + b) + (a – b)][(a + b) – (a – b)]

= (a + b + a – b)(a + b – a + b) = 2a . 2b = 4ab

b) (a + b)3 – (a – b)3 – 2b3

= (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) – (a3 – 3a2b + 3ab2 – b3) – 2b3

= a3 + 3a2b + 3ab2 + b– a3 + 3a2b – 3ab2 + b3 – 2b= 6a2b

Hoặc (a + b)3 – (a – b)3 – 2b3 = [(a + b)3 – (a – b)3] – 2b3

= [(a + b) – (a – b)][(a + b)2 + (a + b)(a – b) + (a – b)2] – 2b3

= (a + b – a + b)(a2 + 2ab + b2 + a2 – b2 + a2 – 2ab + b2) – 2b3

= 2b.(3a2 + b2) – 2b3 = 6a2b + 2b3 – 2b3 = 6a2b

c) (x + y + z)2 – 2(x + y + z)(x + y) + (x + y)2

= x2 + y2 + z2+ 2xy + 2yz + 2xz – 2(x2 + xy + yx + y2 + zx + zy) + x2 + 2xy + y2

= 2x2 + 2y2 + z2 + 4xy + 2yz + 2xz – 2x– 4xy – 2y– 2xz – 2yz = z2

Bài 6

Tính nhanh:

a) 342 + 662 + 68 . 66;                   b) 742 + 24– 48 . 74.

Đáp án và hướng dẫn giải:

a) 34+ 662 + 68 . 66 = 34+ 2.34.66 + 662 = (34 + 66)2 = 1002 = 10000.

b) 742 + 242 – 48.74 = 742 – 2.74.24 + 242 = (74 – 24)2= 502 = 2500

Bài 7

Tính giá trị của biểu thức:

a) x2 + 4x + 4 tại x = 98;                    b) x3 + 3x2 + 3x + 1 tại x = 99

Đáp án và hướng dẫn giải:

a) x2 + 4x + 4 = x2 + 2.x.2 + 22 = (x+ 2)2

Với x = 98: (98+ 2)2 =1002 = 10000

b) x+ 3x2 + 3x + 1 = x3 + 3.1.x2 + 3.x .12+ 13 = (x + 1)3

Với x = 99: (99+ 1)3 = 1003 = 1000000

3. Những hằng đẳng thức đáng nhớ lớp 8 bài 3

Giải bài tập về hằng đẳng thức trong SGK trang 11,12 Toán 8 tập 1

Bài 16 : Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu;

a) x2 + 2x + 1;                      b) 9x2 + y2 + 6xy;

c) 25a2 + 4b2 – 20ab;            d) x2 – x + 1/4

Giải: a) x2 + 2x + 1 = x2+ 2 . x . 1 + 12

= (x + 1)2

b) 9x2 + y2+ 6xy = (3x)2 + 2 . 3 . x . y + y2 = (3x + y)2

c) 25a2 + 4b2– 20ab = (5a)2 – 2 . 5a . 2b + (2b)2 = (5a – 2b)2

Hoặc 25a2 + 4b2 – 20ab = (2b)2 – 2 . 2b . 5a + (5a)2 = (2b – 5a)2

d) x2 – x + 1/4
= x2 – 2 . x . 1/2+ (1/2)2
=(x- 1/2)2

Hoặc x2 – x + 1/4
= 1/4- x + x2 =(1/2)2 – 2 .1/2. x + x2 = (1/2-x)2

———–

Bài 17 🙁SGK trang 11Chứng minh rằng:

(10a + 5)2 = 100a . (a + 1) + 25.

Từ đó em hãy nêu cách tính nhẩm bình phương của một số tự nhiên có tận cùng bằng chữ số 5.

Áp dụng để tính: 252, 352, 652, 752.

Giải: Ta có: (10a + 5)2 = (10a)2 + 2 .10a . 5 + 52

= 100a2 + 100a + 25

= 100a(a + 1) + 25.

Cách tính nhẩm bình thường của một số tận cùng bằng chữ số 5;

Ta gọi a là số chục của số tự nhiên có tận cùng bằng 5 => số đã cho có dạng 10a + 5 và ta được

(10a + 5)2 = 100a(a + 1) + 25

Vậy để tính bình phương của một số tự nhiên có tận cùng bởi chữ số 5 ta tính tích a(a + 1) rồi viết 25 vào bên phải.

Áp dụng;

– Để tính 252 ta tính 2(2 + 1) = 6 rồi viết tiếp 25 vào bên phải ta được 625.

– Để tính 352 ta tính 3(3 + 1) = 12 rồi viết tiếp 25 vào bên phải ta được 1225.

  • 652 = (10.6 + 5)2= 100.6(6+1) +25= 600.7 +25 =4200 +25= 4225
  • 752 =(10.7+5)2 = 100.7(7+1) +25 = 700.8 +25=5600 +25 = 5625

———

Bài 18 toán 8. Hãy tìm cách giúp bạn An khôi phục lại những hằng đẳng thức bị mực làm nhòe đi một số chỗ:

a) x2 + 6xy + … = (… + 3y)2;

b) … – 10xy + 25y2 = (… – …)2;

Hãy nêu một số đề bài tương tự.

Giải: a) x2 + 6xy + … = (… + 3y)2   nên x2 + 2x . 3y + … = (…+3y)2

x2 + 2x . 3y + (3y)2 = (x + 3y)2

Vậy: x2 + 6xy +9y2 = (x + 3y)2

b) …-2x . 5y + (5y)2 = (… – …)2;

x2 – 2x . 5y + (5y)2 = (x – 5y)2

Vậy: x2 – 10xy + 25y2 = (x – 5y)2

Đề bài tương tự: Chẳng hạn:

4x + 4xy + … = (… + y2)

… – 8xy + y2 = (… – …)2

4. Những hằng đẳng thức đáng nhớ lớp 8 bài 4

Giải bài tập về hằng đẳng thức trang 11,12 Toán 8 tập 1

Bài 19:  Tính diện tích phần hình còn lại mà không cần đo.

Từ một miếng tôn hình vuông có cạnh bằng a + b, bác thợ cắt đi một miếng cũng hình vuông có cạnh bằng a – b (cho a > b). Diện tích phần hình còn lại là bao nhiêu ? Diện tích phần hình còn lại có phụ thuộc vào vị trí cắt không ?

Giải: Diện tích của miếng tôn là  (a + b)2

Diện tích của miếng tôn phải cắt là (a – b)2.

Phần diện tích còn lại là  (a + b)2 – (a – b)2.

Ta có: (a + b)2 – (a – b)2 = a2 + 2ab + b2 – (a2 – 2ab + b2)

= a2 + 2ab + b2 – a2 + 2ab – b2

                                                             = 4ab

Vậy phần diện tích hình còn lại là 4ab và không phụ thuộc vào vị trí cắt.

———–

Bài 20:  Nhận xét sự đúng, sai của kết quả sau:

x2 + 2xy + 4y2 = (x + 2y)2

Nhận xét sự đúng, sai:

Ta có: (x + 2y)2 = x2 + 2 . x . 2y + 4y2

= x2 + 4xy + 4y2

Nên kết quả x2 + 2xy + 4y2 = (x + 2y)2 sai.

————–

Bài 21:  Viết các đa thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu:

a) 9x2 – 6x + 1;

b) (2x + 3y)2 + 2 . (2x + 3y) + 1.

Hãy nêu một đề bài tương tự.

Giải: a) 9x2 – 6x + 1 = (3x)2 – 2 . 3x . 1 + 12 = (3x – 1)2

Hoặc 9x2 – 6x + 1 = 1 – 6x + 9x= (1 – 3x)2       

b) (2x + 3y) = (2x + 3y)2 + 2 . (2x + 3y) . 1 + 12

= [(2x + 3y) + 1]2

= (2x + 3y + 1)2

Đề bài tương tự. Chẳng hạn:

1 + 2(x + 2y) + (x + 2y)2

4x2 – 12x + 9…

16x2 y – 8xy2 +1

———–

Bài 22 trang 12 Toán 8. Tính nhanh:

a) 1012;                b) 1992;                   c) 47.53.

HD: a) 1012 = (100 + 1)2 = 1002 + 2 . 100 + 1 = 10201

b) 1992=  (200 – 1)2  = 2002 – 2 . 200 + 1 = 39601

c) 47.53 = (50 – 3)(50 + 3) = 502 – 32 = 2500 – 9 = 2491.

Bài 23 trang 12. Chứng minh rằng:

(a + b)2 = (a – b)2 + 4ab;

(a – b)2 = (a + b)2 – 4ab.

Áp dụng:

a) Tính (a – b)2 , biết a + b = 7 và a . b = 12.

b) Tính (a + b)2 , biết a – b = 20 và a . b = 3.

Giải: a) (a + b)2 = (a – b)2 + 4ab

– Biến đổi vế trái:

(a + b)2 = a2  +2ab + b2 = a2 – 2ab + b2 + 4ab

= (a – b)2 + 4ab

Vậy (a + b)2 = (a – b)2 + 4ab

– Hoặc biến đổi vế phải:

(a – b)2 + 4ab = a2 – 2ab + b2 + 4ab = a2 + 2ab + b2

= (a + b)2

Vậy (a + b)2 = (a – b)2 + 4ab

b) (a – b)2 = (a + b)2 – 4ab

Biến đổi vế phải:

(a + b)2 – 4ab = a2  +2ab + b2 – 4ab

= a– 2ab + b2 = (a – b)2

Vậy (a – b)2 = (a + b)2 – 4ab

Áp dụng: Tính:

a)    (a – b)2 = (a + b)2 – 4ab = 72 – 4 . 12 = 49 – 48 = 1

b)    (a + b)2 = (a – b)2 + 4ab = 202 + 4 . 3 = 400 + 12 = 412

———–

Bài 24: (trang 12 toán 8 tập 1). ính giá trị của biểu thức 49x2 – 70x + 25 trong mỗi trường hợp sau:

a) x = 5;                               b) x = 1/7.

HD: 49x2 – 70x + 25 = (7x)2 – 2 . 7x . 5 + 52 = (7x – 5)2

a)    Với x = 5: (7 . 5 – 5)2 = (35 – 5)2 = 302 = 900

b)    Với x = 1/7: (7 . 1/7 – 5)2 = (1 – 5)2 = (-4)2 = 16

———–

Bài 25:  Tính:

a)    (a + b + c)2;                  b) (a + b – c)2;

c)    (a – b – c)2

HD: a) (a + b + c)2 = [(a + b) + c]2 = (a + b)2 + 2(a + b)c + c2

= a2+ 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2

= a2 + b+ c2 + 2ab + 2bc + 2ac.

b) (a + b – c)2 = [(a + b) – c]2 = (a + b)2 – 2(a + b)c + c2

= a2 + 2ab + b2 – 2ac – 2bc + c2

= a2 + b2 + c2 + 2ab – 2bc – 2ac.

c) (a – b –c)2 = [(a – b) – c]2 = (a – b)– 2(a – b)c + c2

= a2 – 2ab + b2 – 2ac + 2bc + c2

= a2 + b2 + c2 – 2ab + 2bc – 2ac.

những hằng đẳng thức đáng nhớ lớp 8 bài 5

Bài 30. Rút gọn các biểu thức sau:

a) (x + 3)(x2 – 3x + 9) – (54 + x3)

b) (2x + y)(4x2 – 2xy + y2) – (2x – y)(4x2 + 2xy + y2)

Gợi ý giải: a) (x + 3)(x2 – 3x + 9) – (54 + x3) = (x + 3)(x2 – 3x + 32 ) – (54 + x3)

= x3 + 33 – (54 + x3)

= x3 + 27 – 54 – x3

= -27

b) (2x + y)(4x2 – 2xy + y2) – (2x – y)(4x2 + 2xy + y2)

= (2x + y)[(2x)2 – 2 . x . y + y2] – (2x – y)(2x)2 + 2 . x . y + y2]

= [(2x)+ y3]- [(2x)– y3]

=  (2x)+ y3– (2x)+ y3= 2y3

Bài 31. Chứng minh rằng:

a) a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b)

b) a3 – b3 = (a – b)3 + 3ab(a – b)

Áp dụng: Tính a3 + b3 , biết a . b = 6 và a + b = -5

Gợi ý giải: a) a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b)

Thực hiện vế phải:

(a + b)3 – 3ab(a + b) = a3 + 3a2b+ 3ab2 + b3 – 3a2b – 3ab2

= a3 + b3

Vậy a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b)

b) a3 – b3 = (a – b)3 + 3ab(a – b)

Thực hiện vế phải:

(a – b)3 + 3ab(a – b) = a3 – 3a2b+ 3ab2 – b3 + 3a2b – 3ab2

= a3 – b3

Vậy a3 – b3 = (a – b)3 + 3ab(a – b)

Áp dụng:

Với ab = 6, a + b = -5, ta được:

a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) = (-5)3 – 3 . 6 . (-5)

= -53 + 3 . 6 . 5 = -125 + 90 = -35.


Bài 32. Điền các đơn thức thích hợp vào ô trống:

dien cac don thuc thich hop vao cho trong

HD: a) Ta có: 27x3 + y3 = (3x)3 + y3= (3x + y)[(3x)2 – 3x . y + y2] = (3x + y)(9x2 – 3xy + y2)

Nên: (3x + y) (9x2 – 3xy + y2) = 27x3 + y3

b) Ta có: 8x3 – 125 = (2x)3 – 53= (2x – 5)[(2x)2 + 2x . 5 + 52]

= (2x – 5)(4x2 + 10x + 25)

Nên:(2x – 5)(4x2 + 10x + 25)= 8x3 – 125

C. Các bài luyện tập

Bài 33.

a) (2 + xy)2                                 b) (5 – 3x)2

c) (5 – x2)(5 + x2)                       d) (5x – 1)3

e) (2x – y)(4x2 + 2xy + y2)          f) (x + 3)(x2 – 3x + 9)

HD:  a) (2 + xy)2 = 22 + 2 . 2 . xy + (xy)2 = 4 + 4xy + x2y2

b) (5 – 3x)2= 52 – 2 . 5 . 3x + (3x)2 = 25 – 30x + 9x2

c) (5 – x2)(5 + x2) = 52 – (x2)2 = 25 – x4

d) (5x – 1)3 = (5x)3 – 3 . (5x)2. 1 + 3 . 5x . 12 – 13 = 125x3 – 75x2 + 15x – 1

e) (2x – y)(4x2 + 2xy + y2) = (2x – y)[(2x)2 + 2x . y + y2] = (2x)3 – y3 = 8x3 – y3

f) (x + 3)(x2 – 3x + 9) = (x + 3)(x2 – 3x + 32) = x3 + 33 = x3 + 27.

6. Những hằng đẳng thức đáng nhớ lớp 8 luyện tập

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Bài viết liên quan